El axioma de elección en el quehacer matemático contemporáneo

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DOI:

https://doi.org/10.29105/aitas2.3-31

Palabras clave:

Axioma de elección, quehacer matemático, Gödel, Cohen, platonismo matemático.

Resumen

Para matemáticos interesados en problemas de fundamentos, lógico-matemáticos y filósofos de la matemática, el axioma de elección es centro obligado de reflexión, pues ha sido considerado esencial en el debate dentro de las posiciones consideradas clásicas en filosofía de la matemática (intuicionismo, formalismo, logicismo, platonismo), pero también ha tenido una presencia fundamental para el desarrollo de la matemática y metamatemática contemporánea. Desde una posición que privilegia el quehacer matemático, nos proponemos mostrar los aportes que ha tenido el axioma en varias áreas fundamentales de la matemática, su aplicación en la lógica de primer orden, así como una breve descripción de las pruebas de consistencia relativa debidas a Gödel y Cohen, las cuales establecieron su independencia del sistema axiomático Zermelo-Fraenkel (ZF). Con todo lo anterior mostraremos cómo el quehacer matemático contemporáneo se adscribe al platonismo matemático en los términos de Bernays y Ferreirós. Revisaremos también los argumentos de Zermelo y Cantor para permitir el uso de asunciones en la matemática, los cuales se acercan a los planteamientos de la investigación científica y esbozan relaciones con la filosofía de la práctica matemática. Finalmente, justificamos el uso del axioma de elección en la contemporaneidad, abogando por unas relaciones de equidad entre la matemática y la filosofía, presentando además su plena vigencia, a través de la referencia a algunos problemas abiertos en la actualidad que vinculan el axioma de elección con la teoría de Ramsey.

 

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"En el lenguaje matemático moderno se hizo frecuentemente cuestión entre proposiciones existenciales y proposiciones constructivas; la distinción se vinculó esencialmente con la llamada aritmetización de la matemática, la cual con Kronecker, Weierstrass, Dedekind, parte del lema de edificar todo el análisis del concepto de número entero, debiendo todo lo demás depender de este por definiciones nominales. Muchas veces esta limitación fue considerada, por pioneros o por secuaces demasiado entusiastas, como la afirmación de una verdad, circunscribiendo el dominio total de la matemática aceptable ."

Levi, B., Leyendo a Euclides. Buenos Aires, Libros del Zorzal, 2003, p.100.

"Pero, en una visión más justa, la aritmetización no es más que una limitación que voluntariamente nos imponemos acerca de los instrumentos de nuestras deducciones; es imposible no admirar lo mucho de bello y de profundo que ésta y otras limitaciones han producido en el campo de la matemática. Sin embargo, no podemos inclinarnos a dar tales limitaciones un valor dogmático: la construibilidad es relativa a los medios que se conceden a la deducción, lo existente es lo concebible sin contradicción dentro de cierto sistema lógico que debe entenderse determinado a priori,-negritas añadidas- dentro de ciertos límites, con un acto de nuestra voluntad dirigido, desde luego, por las condiciones propias de nuestro pensamiento. "

Levi, B., Leyendo a Euclides. Buenos Aires, Libros del Zorzal, 2003, p.100.

"Que una teoría T sea interpretable en la teoría de conjuntos significa que es posible tratar los objetos de que T se ocupa como conjuntos, y los conceptos, las operaciones y las relaciones que le son propias como conceptos de conjuntos, operaciones con conjuntos y relaciones entre conjuntos, y ello de modo tal que a cada una de las proposiciones expresables en el lenguaje de T se le asocia de manera sistemática una proposición conjuntista y que las proposiciones conjuntistas asociadas a los teoremas de T son teoremas de la teoría de conjuntos. Brevemente, interpretar una teoría matemática en la teoría de conjuntos equivale a reformularla como un fragmento de la teoría de conjuntos. Esto le da a la teoría de conjuntos una peculiaridad digna de análisis y especial atención."

Jané, I. “De qué trata la teoría de conjuntos” en Orayen, R .y Moretti, A., (Eds.), Filosofía de la lógica, Madrid, Editorial Trotta, 2004, p.247.

"Como todos sabemos, todas las teorías matemáticas pueden ser consideradas como extensiones de la teoría general de conjuntos ."

Ferreirós, J. “El enfoque conjuntista en matemáticas” en La Gaceta, vol. I, 3, 1998, p.1.

"El concepto de conjunto bien ordenado resulta ser fundamental para la teoría de las variedades. Que siempre es posible reducir cada conjunto bien definido a la forma de un conjunto bien ordenado es una ley del pensamiento, a mi modo de ver, básica y fecunda, y especialmente notable por su universalidad, a la cual retornaré en un trabajo posterior."

Cantor, GA, p.169, citado por Torreti, R. El paraíso de..., cit., p.35.

"Una de las tareas más importantes de la teoría de conjuntos, que creo haber resuelto en lo principal en [el escrito Nro. 5 de 1883], consiste en la exigencia de determinar las distintas valencias o potencias de las variedades presentes en la totalidad de la naturaleza, en la medida en que ésta se abre a nuestro conocimiento. Lo he logrado mediante la formación del concepto general del enumerador de un conjunto bien ordenado, o lo que es lo mismo, del concepto de número ordinal ."

Torreti, R. El paraíso de..., cit., p.36.

"Para su programa -el de Cantor- el Teorema del Buen orden era indispensable: la sucesión de los ordinales alcanza para enumerar todo lo que se presente a la naturaleza corpórea y espiritual si -y solo si- cada conjunto puede ordenarse bien ."

Torreti, R. El paraíso de..., cit., p.35.

"A pesar de la fuerza de la oposición inicial contra ella, el axioma de elección de Zermelo poco a poco fue aceptado principalmente porque era necesario para, en una etapa temprana, el desarrollo de varias ramas de las matemáticas, no solo en teoría de conjuntos, sino también en topología, álgebra y análisis funcional, por ejemplo. Hacia el final de los años treinta, se había establecido firmemente y se hizo parte del currículum estándar en matemáticas en la forma del lema de Zorn".

Intuicionism, logicism y formalism: what has become of them?, Suecia, Springer, 2009. p.210.

"La equivalencia entre el axioma de elección y el lema de Zorn es un requisito indispensable para desarrollar las partes más útiles de la teoría de conjuntos. Al igual que otros tópicos que fundamentan áreas extensas de las Matemáticas, los planteamientos deben tener la mayor amplitud posible. Así no se imponen restricciones a la cardinalidad de los conjuntos y salvo algunos ejemplos ilustrativos pero totalmente prescindibles en el desarrollo teórico, tampoco se utilizan los números naturales ."

Crespin, D. Axioma de Elección y Lema de Zorn, Caracas, Cartillas Matemáticas, Escuela de Matemáticas, Facultad de Ciencias, UCV, 2000, p.1.

"A mediados del siglo XIX comenzó un desarrollo enteramente nuevo de la geometría que pronto se convirtió en una de las fuerzas más potentes de la matemática moderna. La nueva disciplina, llamada analisis situ o topología estudia las propiedades de las figuras geométricas que subsisten aún si esas figuras se someten a deformaciones tan radicales que las hagan perder todas sus propiedades métricas y proyectivas ."

Courant, R. y Herbert, R. ¿Qué es la matemática? Una exposición elemental de sus ideas y métodos, España, Aguilar, 1962, p.247.

"Cuando el número de preguntas y su radicalidad arrollan patentemente la fragilidad recelosa de las respuestas disponibles, quizás sea hora de acudir a la filosofía. No tanto por afán dogmático de poner pronto remedio al desconcierto sino para utilizar este a favor del pensamiento: hacernos intelectualmente dignos de nuestras perplejidades es la única vía ́para empezar a superarlas ."

Savater, F. El Valor de Educar, Barcelona, Editorial Ariel S.A., p.14.

“no hay sustituto matemático para la filosofía ” ́

Citado por Haack, S. Filosofía ́ de las lógicas, Madrid, Ediciones Cátedra S.A., 1991, p. 21.

"En el sexto libro de la República, Platón sostiene que el carácter esencial de la matemática consiste en la naturaleza y grado peculiares de su abstracción, que es mayor que la de la física, pero menor que la abstracción de lo que hoy llamamos filosofía y Aristóteles sigue a su maestro en esta definición. Desde entonces ha sido costumbre de los metafísicos el enaltecer sus propios razonamientos y conclusiones como muchos más abstractos y científicos que los de los matemáticos. Y sin duda parece que los problemas acerca de Dios, la Libertad y la Inmortalidad son más elevados, por ejemplo, que la cuestión de cuántas horas, minutos y segundos pasarán, antes de que se encuentren dos correos que viajan en determinadas condiciones; de todos modos, no sé ́que se haya demostrado nunca esa mayor dignidad ."

Peirce, C. “La esencia de la matemática” en Newman, J. (Ed.) Sigma El mundo de las matemáticas, Barcelona, 1976, vol. V, p.162.

"Pero la idea de que los métodos intelectuales de los metafísicos no son, como hechos históricos, muy inferiores en todos los aspectos a los de la matemática, no es más que vana fatuidad. Una curiosa consecuencia de esa noción que ha prevalecido durante gran parte de la historia de la filosofía y según la cual el razonamiento metafísico debe ser como el matemático, pero en más, ha sido que varios matemáticos se han creído, por el hecho de ser matemáticos, calificados para discutir de filosofía y no hay peor metafísica que la suya ."

Peirce, C. “La esencia de la matemática” en Newman, J. (Ed.) Sigma El mundo de las matemáticas, Barcelona, 1976, vol. V, p.162.

"Desde Euclides, la matemática había tenido que ver con construcciones realizables explícitamente, ya fueran construcciones geométricas o analíticas. Con la nueva tendencia se trata, como ya vimos, de la preferencia por los conceptos en lugar de las notaciones, las formas de representación o las construcciones . "

Ferreirós, J. El enfoque conjuntista..., cit., p.10.

"La tensión entre un planteamiento de definición o construcción explícita y uno de análisis abstracto explica las dificultades que encontró el enfoque conjuntista en su implantación progresiva. Ya la noción de función propuesta por Dirichlet y Riemann avanzaba claramente en la dirección abstracta, pero puede decirse que la teoría de conjuntos se convirtió en epítome del planteamiento abstracto. El ejemplo más característico de ello es el axioma de elección introducido por Zermelo [1904], que, dada una familia infinita cualquiera de conjuntos, postula la mera existencia de cierto tipo de conjunto. El axioma se usa de modo esencial precisamente cuando no hay ningún medio de especificar o definir explícitamente este tipo de conjuntos de elección ."

Ferreirós, J. El enfoque conjuntista..., cit., p.11.

"los objetos de una teoría se tratan como elementos de una totalidad tal que permite razonar como sigue: Para cada propiedad expresable usando las nociones de la teoría es un hecho objetivamente determinado si hay o no un elemento de la totalidad que posea tal propiedad. Asimismo, se sigue de este punto de vista que o bien todos los elementos de un conjunto poseen una determinada propiedad, o bien hay al menos un elemento que no la posee ."

Bernays, P. El platonismo en matemática. Versión española de Vincenzo P. Lo Monaco y Benjamín Sánchez, Caracas, Ediciones de la Biblioteca U.C.V., 1982, p.15 y ss.

“Dado que esta tendencia se basó especialmente en la filosofía de Platón, me permito llamarla platonismo.”

Bernays, P. El platonismo en matemática. Versión española de Vincenzo P. Lo Monaco y Benjamín Sánchez, Caracas, Ediciones de la Biblioteca U.C.V., 1982, p.15 y ss.

"El axioma de elección es una aplicación inmediata de los conceptos cuasi-combinatorios en cuestión. Se emplea generalmente en la teoría de los números reales en la siguiente forma particular. Si M1, M2,... es una secuencia de conjuntos no-vacíos de reales, hay entonces una sucesión a1, a2,... tal que para cada índice n, an es un elemento de Mn. El principio resulta expuesto a objeciones al exigirse la construcción efectiva de la sucesión de números ."

Bernays, P. El platonismo en..., cit., p.19.

“la existencia de las estructuras estudiadas en la teoría ́ de los números, en el análisis y en la teoría de los conjuntos, juega un importante papel en las pruebas de todas las ramas de las matemáticas. Estas tres teorías son básicas en el sentido de que son el origen de nuestra aceptación de las totalidades de cardinalidad creciente. ”

Dummet, M. “El platonismo” en Dummet, M. La verdad y otros enigmas, México, Fondo de Cultura Económica, 1990, p.286.

“el polémico Axioma de Elección puede verse, simplemente, como una consecuencia natural de emplear las nociones de infinito actual y de conjunto (arbitrario o cuasi-combinatorio).”

Ferreirós, J. Matemáticas y..., cit., p.11.

"el sistema de los números naturales es el origen de nuestro concepto de número infinito. De manera similar, el continuo de los números reales representa el origen de la noción de una infinidad no numerable y la teoría ́de conjuntos un origen más reciente de nuestra noción de infinitos superiores ."

Dummet, M. “El platonismo” en Dummet, M. La verdad y otros enigmas, México, Fondo de Cultura Económica, 1990, p.286.

"Podríamos decir, un tanto toscamente, que el intuicionismo se ajusta a la teoría de números; el método semiplatonista, que hace uso de la idea de la totalidad de los enteros pero evita conceptos cuasi-combinatorios, se ajusta a la teoría aritmética de funciones, y el platonismo ordinario es adecuado para la teoría geométrica del continuo. Nada hay de sorprendente en esta situación pues es un procedimiento familiar al matemático contemporáneo limitarse en cada dominio de la ciencia a aquellas asunciones que son esenciales ."

Bernays, P. El platonismo en..., cit., p.25.

“se hace referencia a elementos cuya existencia se postula y se considera dada. ”

Ferreirós, J. Matemáticas y..., cit., p.2.

“el platonismo filosófico postula una bifurcación de la realidad: existe una realidad física perceptible por los sentidos, y una realidad matemática perceptible a la intuición, a un supuesto ojo de la mente.”

Ibíd., p.12

"atiende única y exclusivamente a la realidad inmanente de sus conceptos, es decir, a su aceptabilidad en el dominio del pensamiento puro; se despreocupa completamente de la realidad trasiente de los objetos matemáticos, es decir, de su existencia real o su capacidad de representar relaciones o procesos del mundo externo" [Cantor 1883, 181].

"(1) Los conceptos elaborados por los matemáticos deben “estar libres de contradicciones internas.”

(2) Los nuevos conceptos deben estar relacionados con los antiguos conceptos matemáticos, y si es posible dar cuenta de ellos.

(3) El concepto debe impulsar la ciencia hacia un nuevo nivel, haciéndolo enriquecedor para la teoría ."

Mosterín J., Los lógicos, Madrid, Editorial España Calpe, 2000, p.116.

“mientras uno no se contradiga y mientras lo que uno haga sirva para algo, todo está permitido en la matemática.”

Mosterín J., Los lógicos, Madrid, Editorial España Calpe, 2000, p.116.

"Algunos observadores, siguiendo la tradición, han dictaminado que las únicas justificaciones legítimas son las intrínsecas. Mi propia conclusión es que esto último es incorrecto . "

Maddy, P., Naturalism in Mathematics, Clarendon Press, Oxford, 1997, p. 37.

"Subrayo que los axiomas de Zermelo no se eligen, como en la teoría russelliana del zigzag, solo con vistas a prevenir las contradicciones conocidas. Zermelo tiene un cometido -hacer matemáticas- y postula lo que necesita para eso. Su selección se ha probado duradera. En cambio, Russell, que buscaba certificar -como si hiciera falta- las matemáticas hechas por otros, daba solamente con axiomas implausibles, inspirados por un principio que él mismo juzgaba insuficiente ."

Torreti, R. El paraíso ́ de..., cit., p.186.

“recuperar en su totalidad la teoría creada por Cantor y Dedekind.”

Citado por Maddy, P. Naturalism in..., cit., p.36.

“necesarios para la ciencia.”

Citado por Maddy, P. Naturalism in..., cit., p.36.

“Zermelo postula la existencia de un mínimo de conjuntos que le parecen imprescindibles para hacer matemáticas, y presume que su teoría es inocente de contradicciones hasta que no se le demuestre culpable.”

Torreti, R. El paraíso ́ de..., cit., p.186.

"Subrayo que los axiomas de Zermelo no se eligen, como en la teoría russelliana del zigzag, solo con vistas a prevenir las contradicciones conocidas. Zermelo tiene un cometido -hacer matemáticas- y postula lo que necesita para eso. Su selección se ha probado duradera. En cambio, Russell, que buscaba certificar -como si hiciera falta- las matemáticas hechas por otros, daba solamente con axiomas implausibles, inspirados por un principio que él mismo juzgaba insuficiente ."

Torreti, R. El paraíso ́ de..., cit., p.186.

"Es un hecho indisputable que este axioma, aunque nunca ha sido presentado al estilo de los libros de texto, ha sido usado antes, y además con éxito, en los más diversos campos de la matemática, especialmente en la teoría de conjuntos, por Dedekind, Cantor, F. Bernstein, Schoenflies, J. Konig y otros...Un uso tan extenso del principio puede explicarse únicamente por su autoevidencia".

Maddy, P., Naturalism in..., cit., p. 54.

“¿Qué debe ser tenido como un axioma natural de la teoría de conjuntos?”

Bagaria, J., Natural Axioms of set theory and the continuum problem, Universidad de Barcelona, 2004. p.3.

“Ciertamente cualquier hecho intuitivamente obvio acerca de los conjuntos.”

Bagaria, J., Natural Axioms of set theory and the continuum problem, Universidad de Barcelona, 2004. p.3.

“esa autoevidencia es hasta cierto punto subjetiva,”

Maddy, P., Naturalism in..., cit., p. 55.

"Pero la cuestión que puede ser decidida objetivamente es si el principio es necesario para la ciencia. Ahora quisiera someterlo a juicio presentando un número de teoremas y problemas elementales y fundamentales que, en mi opinión, no podrían resolverse sin el principio de elección ."

Maddy, P., Naturalism in..., cit., p. 55.

"...nadie tiene derecho a impedir que los representantes de la ciencia productiva continúen usando esta “hipótesis”- pueden llamarla así ́si quieren- y llevando sus consecuencias lo más lejos posible... Simplemente necesitamos separar los teoremas que requieren del axioma de los que pueden ser probados sin él para poder delimitar la totalidad de la matemática de Peano como una rama especial, como una ciencia artificialmente mutilada, por decirlo así...los principios deben ser juzgados desde el punto de vista de la ciencia, y no la ciencia desde el punto de vista de principios fijados de una vez por todas. (Zermelo, 1908a) ."

Maddy, P., Naturalism in..., cit., p. 56.

“tiene otro carácter que los demás y no sirve para delimitar los dominios de los modelos”

Torreti, R. El paraíso de..., cit, p.102.

“un principio lógico universal presupuesto por toda nuestra investigación.”

Torreti, R. El paraíso de..., cit, p.102.

"Zermelo (1904, 516) era explícito al afirmar que la idea de basar la demostración en el axioma de elección se debe a Schmidt. Al final de su vida, Zermelo se quejaría ́de que muchas de sus contribuciones en lógica y teoría ́de conjuntos no eran tenidas en cuenta, mientras que su nombre aparece sólo asociado a un axioma cuya autoría nunca había reclamado ."

Ferreirós. J. Un episodio de..., p.462.

“porque ya no podía enfadar a nadie con sus publicaciones.”

Ferreirós. J. Un episodio de..., p.462.

“la concepción reiterativa subyace a la jerarquía ́acumulativa de Zermelo (1930) como un principio que fundamenta los axiomas con más firmeza que la mera justificación extrínseca presentada en 1908.”

Un análisis de esto se puede apreciar en Maddy, P., Naturalism in..., cit., p.42.

“el axioma de elección no se puede deducir de la teoría ́de niveles”

Véase: Boolos, G., “The Iterative Conception of Set” en R. Jeffrey, ed., Logic, Logic, and Logic, Cambridge, Harvard University Press, 1971.

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Publicado

2022-07-01

Cómo citar

Galindo, F., & Alzate, R. (2022). El axioma de elección en el quehacer matemático contemporáneo. Aitías, Revista De Estudios Filosóficos Del Centro De Estudios Humanísticos De La UANL, 2(3), 49–126. https://doi.org/10.29105/aitas2.3-31